第一篇：函数极限的性质证明
函数极限的性质证明
x1=2,xn+1=2+1/xn,证明xn的极限存在，并求该极限
求极限我会
|xn+1-a|<|xn-a|/a
以此类推，改变数列下标可得|xn-a|<|xn-1-a|/a;
|xn-1-a|<|xn-2-a|/a;
……
|x2-a|<|x1-a|/a;
向上迭代，可以得到|xn+1-a|<|xn-a|/(a^n)
2
只要证明{x(n)}单调增加有上界就可以了。
用数学归纳法：
①证明{x(n)}单调增加。
x(2)=√=√5>x(1);
设x(k+1)>x(k)，则
x(k+2)-x(k+1))=√-√(分子有理化)
=/【√+√】>0。
②证明{x(n)}有上界。
x(1)=1<4，
设x(k)<4，则
x(k+1)=√<√(2+3*4)<4。
3
当0
当0
构造函数f(x)=x*a^x(0
令t=1/a，则：t>1、a=1/t
且，f(x)=x*(1/t)^x=x/t^x(t>1)
则：
lim(x→+∞)f(x)=lim(x→+∞)x/t^x
=lim(x→+∞)(分子分母分别求导)
=lim(x→+∞)1/(t^x*lnt)
=1/(+∞)
=0
所以，对于数列n*a^n，其极限为0
4
用数列极限的定义证明
3.根据数列极限的定义证明：
(1)lim=0
n→∞
(2)lim=3/2
n→∞
(3)lim=0
n→∞
(4)lim0.999…9=1
n→∞n个9
5几道数列极限的证明题，帮个忙。。。lim就省略不打了。。。
n/(n^2+1)=0
√(n^2+4)/n=1
sin(1/n)=0
实质就是计算题，只不过题目把答案告诉你了，你把过程写出来就好了
第一题，分子分母都除以n，把n等于无穷带进去就行
第二题，利用海涅定理，把n换成x，原题由数列极限变成函数极限，用罗比达法则(不知楼主学了没，没学的话以后会学的)
第三题，n趋于无穷时1/n=0，sin(1/n)=0
不知楼主觉得我的解法对不对呀limn/(n^2+1)=lim(1/n)/(1+1/n^2)=lim(1/n)/(1+lim(1+n^2)=0/1=0
lim√(n^2+4)/n=lim√(1+4/n^2)=√1+lim(4/n^2)=√1+4lim(1/n^2)=1
limsin(1/n)=lim=lim(1/n)*lim/(1/n)=0*1=0
第二篇：函数极限的性质
§3.2 函数极限的性质
§2函数极限的性质
ⅰ. 教学目的与要求
1.理解掌握函数极限的唯一性、局部有界性、局部保号性、保不等式性，迫敛性定理并会利用这些定理证明相关命题.
2.掌握函数极限四则运算法则、迫敛性定理,会利用其求函数极限.
ⅱ. 教学重点与难点:
重点: 函数极限的性质.
难点: 函数极限的性质的证明及其应用.
ⅲ. 讲授内容
在§1中我们引入了下述六种类型的函数极限：
1)limf?x? ；2)limf?x?；3)limf?x?x???x???x???
f?x?；6)limf?x?。 4)limf?x?； 5)lim??x?x0x?x0x?x0
它们具有与数列极限相类似的一些性质，下面以第4)种类型的极限为代表来叙述并证明这些性质．至于其他类型极限的性质及其证明，只要相应地作些修改即可.
定理3．2(唯一性)若极限limf?x?存在，则此极限是唯一的． x?x0
证设?,?都是f当x?x0时的极限，则对任给的??0，分别存在正数
?1与?2，使得当0?x?x0??1时有
f?x????? ，(1)当0?x?x0??2时有
f?x????? ，(2)
取??min??1,?2?，则当0?x?x0??时，(1)式与(2)式同时成立，故有
????(f?x???)??f?x????f?x????f?x????2?
由?的任意性得???，这就证明了极限是唯一的.
定理3。3（局部有限性）若limf?x?存在，则f在x0的某空心邻域u0?x0?内有界． x?x0
证设limf?x???．取??1，则存在??0使得对一切x?u0?x0;??有 x?x0
f?x????1?f?x???1
这就证明了f在u0?x0;??内有界．
定理3．4(局部保号性)若limf?x????0 (或?0)，则对任何正数r??（或x?x0
r???)，存在u0?x0?，使得对一切x?u0?x0?有
f?x??r?0（或f?x???r?0）
证设??0，对任何r?(0,?)，取????r，则存在??0，使得对一切
x?u0?x0;??
f?x??????r，
这就证得结论．对于??0的情形可类似地证明．
注在以后应用局部保号性时，常取r?a．2
x?x0定理3．5(保不等式性)设limf?x?与都limg?x?都存在，且在某邻域u0x0;?'内x?x0??
有f?x??g?x?则
limf?x??limg?x?（３）x?x0x?x0
证设limf?x?=?，limg?x?=?，则对任给的??0，分别存在正数?1与?2使x?x0x?x0
得当0?x?x0??1时有
????f?x?， 当0?x?x0??2 时有
g?x?????
令??min?',?1,?2，则当0?x?x0??时，不等式f?x??g?x?与(4)、(5)两式同时成立，于是有
????f?x??g?x?????
从而????2?．由?的任意性推出???，即(3)式成立．
定理3．6(迫敛性)设limf?x?=limg?x?=ａ，且在某u0x0;?'内有 x?x0x?x0????
f?x??
则limh?x???． x?x0h?x??g?x?
证按假设，对任给的??0，分别存在正数?1与?2，使得当0?x?x0??1时有，2
????f?x?(7)当0?x?x0??2时有
g?x?????(8)令??min?,?1,?2，则当0?x?x0??时，不等式(6)、(7)、(8)同时成立， 故有
????f?x??h?x??g?x?????
由此得h?x?????，所以limh?x??? x?x0?'?
定理3．7（四则运算法则）若极限limf?x?与limg?x?都存在，则函数 x?x0x?x0
f?g,f?g当x?x0时极限也存在，且
1)lim?f?x??g?x???limf?x??limg?x?； x?x0x?x0x?x0
2）lim?f?x?g?x???x?x0x?x0limf?x?．limg?x?； x?x0
又若limg?x??0，则f|g当x?x0时极限存在，且有 x?x0
3）limx?x0f?x??gxx?x0limf?x?limg?x?． x?x0
这个定理的证明类似于数列极限中的相应定理，留给学生作为练习．
利用函数极限的迫敛性与四则运算法则，我们可从一些简单的函数极限出发，计算较复杂的函数极限．
例 1求limx??x?0?x?
解当x?0时有
1?x?x???1， ?x??1? ?1?
?1?x?1?故由迫敛性得：xlim而limx??=1 ?0?x?0??x?
另一方面，当x?0有1?x???1?x，故又由迫敛性又可得：lim x???1 ?x?0?x??x?
综上，我们求得lim x???1 x?0?x?
3 ?1??1??1??1?
例 2求lim?xtanx?1?
x??
解由xtanx?xsinx及§1例4所得的， cosx
sixn?si?lim
x???442?limcoxs， ?2x?4
并按四则运算法则有
limsinx
?xtanx?1?=limx?lim
x?x??4?4x??
4limcosxx?1=?lim?x?4???1 4
例 3求lim?3??1?3?． x??1x?1x?1??
解 当x?1?0时有
?x?1??x?2??x?213?3?x?1x?1x3?1x2?x?1
故所求的极限等于
x?2?1?2???1 2x??1x2?x?1?1??1?1lim
例4证明lima?1?a?1? x
x?0
证任给??0 (不妨设??1)，为使
xa?1??（9）
即1???a?1??，利用对数函数loga
loga?1????x?loga?1???
于是，令x（当a?1时）的严格增性，只要 ??min?loga?1???,?loga?1????， 则当0?x??时，就有(9)式成立，从而证得结论．
ⅳ 小结与提问:本节要求学生理解掌握函数极限的性质，并利用其讨论相关命题.指导学生对定理的应用作总结.
ⅴ 课外作业: p51 2、3、5、7、8、9.
第三篇：§2函数极限的性质
《数学分析》上册教案第三章函数极限武汉科技学院理学院
§2 函数极限的性质
教学章节：第三章函数极限——§2 函数极限的性质
教学目标：使学生掌握函数极限的基本性质.
教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等. 教学重点：函数极限的性质及其计算.
教学难点：函数极限性质证明及其应用.
教学方法：讲练结合.
教学过程：
引言
在§1中我们引进了下述六种类型的函数极限：
1、limf(x)；2、limf(x)；3、limf(x)；4、limf(x);5、limf(x)；6、limf(x).
x???x???x??x?x0x?x0?x?x0?
它们具有与数列极限相类似的一些性质，下面以limf(x)为代表来叙述并证明这些性质.至
x?x0
于其它类型极限的性质及其证明，只要作相应的修改即可.
一、函数极限的性质
性质1（唯一性） 如果x?a
limf(x)x?alimf(x)存在，则必定唯一. 证法一设?a，x?alimf(x)?b,则
???0,??1?0,当0?|x?a|??1时，
|f(x)?a|??,(1)
??2?0,当0?|x?a|??2时，
|f(x)?b|??.(2)
??min??1,?2?取
因而有 ，则当0?x?a??时（1）和（2）同时成立.
a?b?(f(x)?a)?(f(x)?b)?f(x)?a?f(x)?b?2?,(3)
由?的任意性，（3）式只有当
a?b?0
时，即a?b时才成立.
a?b2
证法二反证,如x?a
0?x?a??
limf(x)
?a
，x?a
limf(x)?b
且a?b，取
?0?
，则???0，使当
时，
f(x)?a??0,f(x)?b??0
,
即
a?b2
?a??0?f(x)?b??0?
a?b2
矛盾.
性质2（局部有界性） 若limf(x)存在，则f在x0的某空心邻域内有界.
x?x0
limf(x)?a
??1x?x0证明取, 由 , ???0, 当0?x?x0??时, 有f(x)?a?1,
即
f(x)?a?f(x)?a?a?1
，
a?1
说明f(x)在u0(x0;?)上有界，就是一个界.
limf(x)?b
x?a
性质3（保序性） 设，x?a
limg(x)?c
.
0?x?a??0???0
1）若b?c，则0，当时有f(x)?g(x)；
0?x?a??0
2）若
??0?0
，当
时有f(x)?g(x)，则b?c.（保不等式性）
证明1） 取
?0?
b?c2
即得.2）反证，由1）即得.
注若在2）的条件中, 改“f(x)?g(x)”为“f(x)?g(x)”,未必就有
a?b.以 f(x)?1?x,g(x)?1,x0?0
举例说明.
推论（局部保号性） 如果x?a
号.
limf(x)?b
0?x?a??0???0
且b?0，则0使当时f(x)与b同
性质4（迫敛性） 设limf(x)?limh(x)?a，且在某u0(x0;??)内有f(x)?g(x)?h(x)，
x?x0
x?x0
则limh(x)?a.
x?x0
证明???0, 由x?x
limh(x)?a
limf(x)?a
，??1?0，使得当0?x?x0??1时，
有f(x)?a??，即 a???f(x)?a??.又由
x?x0
，??2?0，使得当0?x?x0??2时 ，有h(x)?a??，
即a???h(x)?a??.
令??min(?1,?2)，则当0?x?x0??时，有a???f(x)?g(x)?h(x)?a??
limg(x)?a
即g(x)?a??，故 x?x.
性质6（四则运算法则） 若limf(x)和limg(x)都存在，则函数f?g,fg当x?x0时极限
x?x0
x?x0
也存在，且 1）lim?f(x)?g(x)??limf(x)?limg(x)；2）lim?f(x)?g(x)??limf(x)?limg(x).
x?x0
x?x0
x?x0
x?x0
x?x0
x?x0
又若limg(x)?0，则
x?x0
fg
当x?x0时极限也存在，且有 3）lim
f(x)g(x)
x?x0
?
x?x0
limf(x)
x?x0
limg(x)
.
3）的证明 只要证有
x?x0
lim
1g(x)
b2
?
1b，令
?0?
b2
?0
，由
x?x0
limg(x)?b
b2
0?x?x0??1
，??1?0使得当时，
b2
g(x)?b?
， 即
g(x)?b?g(x)?b?b??
.
g(x)?b?
b2
???0
,仍然由
x?x0
limg(x)?b
??2?0, 使得当0?x?x0??2时，，有
?
.
0?x?x0??
取??min(?1,?2)，则当时，有
1g(x)
?1b?
g(x)?bg(x)b
?
2b
g(x)?b?
2b
?
b2
???
即
x?x0
lim
1g(x)
?
1b.
二、利用函数极限的性质计算某些函数的极限
利用“迫敛性”和“四则运算”，可以从一些“简单函数极限”出发，计算较复杂函数的极限.已证明过以下几个极限：
limc?c,limx?x0,limsinx?sinx0,limcosx?cosx0;
x?x0
x?x0
x?x0
x?x0
lim
1x
x??
?0,limarctgx??
x???
?
.（ 注意前四个极限中极限就是函数值 ）
这些极限可作为公式用.
在计算一些简单极限时,利用极限性质，特别是运算性质求极限的原理是：通过有关性质, 把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值, 即计算得所求极限. 例1 求limx??.
x?0
?x?
?1?
例2 求lim?
(xtgx?1).
x?
例3 求lim(
1x??1
x?1
?
3x3
?1
).
例4lim
5x?3x?73x3
?2x2
?5
.
x??
注关于x的有理分式当x??时的极限.参阅[4]p37. 7
例5lim
x?1n
x
10利用公式x?1
?1
.[a?1?(a?1)(a
n?1
?a
n?2
???a?1)
].
例6lim
x?2x?2?1x?1
x2
?x?2
.
例7lim
2x?
3x?1
x???
3x?5
.
例8lim
xsin(2x?x?10)
3?2x
.
x??
例9lim
?x?1.
x?0
?x?1
例10已知 lim
x?16?a参阅[4]p69.
x?3
x?3
?b.求 a和b.作业教材p51—521 -7，8(1)(2)(4)(5)； 2
补充题已知lim
x?ax?b7.求a和b.(a??
16x?2
x2?4
?b?3
,b?
203
.)
例11lim??2?x2?ax?b?
??0.x????1?x
?求a和b. ?
2解法一
2?x
?ax?ax
1?x
?ax?
2?x1?x
?
?(a?1)x2
?ax?2
1?x
?b,(x??).
?a?1?0,a??1;又 ?a?b,?b?1.
解法二2?x2
1?x?ax?b?x ??? 2?x2?a?b?
?，?x?x
2x? 由x??且原式极限存在(本文 来自www.)， ??
2?x2x?x
?a?b
x?0，即 a?lim??2?x2?b?
???1,b?lim??2?x2?x???1x???. ?x?x2x??x????1?x??
第四篇：2 函数极限的性质
§2 函数极限的性质
在§1中我们引入了下述六种类型的函数极限：
1）；2）；3）；
4）；5）；6）。
它们具有与数列极限相类似的一些性质，下面以第4）种类型的极限为代表来叙述并证明这些性质。
至于其他类型极限的性质及其证明，只要相应的作些修改即可。
定理3.2（唯一性）若极限
证设与、都是当 存在，则此极限是唯一的。 时的极限，则对任给的，
分别存在正数，使得当
时有
（1）
当
时有
（2） 取，则当时，（1）式与 (2) 式同时成立，故有
由的任意性得。这就证明了极限是唯一的。
定理3.3（局部有界性） 若极限
内有界。存在，则在某空心邻域
证设
。取，则存在，使得对一切
。
有
这就证明了在内有界。
定理3.4（局部保号性）若（或
），存在，使得对一切
有
（或），则对任何正数
（或
证 设
有
，这就证得结论。对于，对任何
，取
，则存在
）。
，使得对一切
的情形可类似地证明。
定理3.5（保不等式性）设
内有
，则
与
都存在，且在某邻域
。（3）
证 设，使得当
，时
，则对任给的，分别存在正数与
（4）
当
时有
（5）
令
，则当
时，不等式
与（4）,
（5）式同时成立，于是
有式成立。
，从而
。由的任意性得
，即（3）
定理3.6（迫敛性）设==，且在某内有
（6）
则
。
证 按假设，
对任给的
，分别存在正数
与
，使得当
时
（7）
当
时有
（8）
令
式同时成立，故有
，则当
时，不等式（6）、（7）、（8）
，由此得
，所以。
定理3.7（四则运算法则）若极限，
当
与
都存在，则函数
时极限也存在，且
1）
=
2）
=
又若，则当时极限也存在，且有
）
这个定理的证明类似于数列极限中的相应定理，留给读者作为练习。 利用函数极限的迫敛性与四则运算法则，我们可从一些简单的函数极限出发计算较复杂的函数极限。
例1求。
解 由第一章§3习题13，当 时有
，而
，故由迫敛性得
。
另一方面，当时有
，故由迫敛性又可得
。
综上，我们求得
。
例2 求。
解由
及§1例4所得的
并按四则运算法则有
=
例3 求
解 当 时有
。
故所求极限等于
。
例4证明证任给
（不妨设
），为使
（9）
即
，利用对数函数
（当
时）的严格增性，只要
于是，令
成立，从而证得结论。
，则当时，就有（9）式
第五篇：函数极限的证明
函数极限的证明
(一)时函数的极限：
以时和为例引入.
介绍符号:的意义,的直观意义.
定义(和.)
几何意义介绍邻域其中为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义.
例1验证例2验证例3验证证……
(二)时函数的极限：
由考虑时的极限引入.
定义函数极限的“”定义.
几何意义.
用定义验证函数极限的基本思路.
例4验证例5验证例6验证证由=
为使需有为使需有于是,倘限制,就有
例7验证例8验证(类似有(三)单侧极限:
1.定义：单侧极限的定义及记法.
几何意义:介绍半邻域然后介绍等的几何意义.
例9验证证考虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系:
th类似有:例10证明:极限不存在.
例11设函数在点的某邻域内单调.若存在,则有
=§2函数极限的性质(3学时)
教学目的：使学生掌握函数极限的基本性质。
教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。
教学重点：函数极限的性质及其计算。
教学难点：函数极限性质证明及其应用。
教学方法：讲练结合。
一、组织教学：
我们引进了六种极限:,.以下以极限为例讨论性质.均给出证明或简证.
二、讲授新课：
(一)函数极限的性质:以下性质均以定理形式给出.
1.唯一性:
2.局部有界性:
3.局部保号性:
4.单调性(不等式性质):
th4若和都存在,且存在点的空心邻域,使，都有证设=(现证对有)
註:若在th4的条件中,改“”为“”,未必就有以举例说明.
5.迫敛性:
6.四则运算性质:(只证“+”和“”)
(二)利用极限性质求极限：已证明过以下几个极限：
(注意前四个极限中极限就是函数值)
这些极限可作为公式用.在计算一些简单极限时,有五组基本极限作为公式用,我们将陆续证明这些公式.
利用极限性质，特别是运算性质求极限的原理是：通过有关性质,把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值,即计算得所求极限.
例1(利用极限和)
例2例3註:关于的有理分式当时的极限.
例4
例5例6例7
